[기초수학] 선형독립

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벡터의 생성(span) 시스템

1-1 선형 결합 (Linear Combination)

 

앞서 벡터 챕터에서 살펴본 벡터 공간의 벡터 합과 스칼라 곱셉 연산은 선형성을 지니고 있어 선형 연산이라고도 부른다. 

이런 선형 연산을 이용해 새로운 벡터를 생성하는 수식을 선형 결합이라고 한다

 

#선현 결합의 수식 
v'=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+⋯+a_n v_n

 

1-2 선형의존과 선형독립

 

선형의존이란 스칼라의 값이 모두 0이 아닌데도 영벡터를 만들 수 있을 때,

벡터는 서로 선형 종속 관계를 가지는 선형 의존 상태라고 한다. 

한 벡터가 다른 벡터의 배수일 경우 에도 선형의존이다. 

 

반면 선형독립이란 수식의 결과를 0으로 만들기 위한 스칼라의 값이 0이라면 선형 독립이라고 한다.

즉, 유일한 해가 0일 경우에 선형 독립이라는 의미가 된다. 또한 벡터가 서로 배수 관계가 아니면 선형 독립이다. 

결론부터 말하자면 두 선형 독립인 벡터가 있으면 평면 상의 모든 점을 생성할 수 있다. 

두 벡터와 두 스칼라를 결하하여 새로운 벡터를 생성하는 것이다. 

 

v3 = av1 + bv2 로 표현할 수 있다. 조금 더 상세하게 설명하기 위해 간단한 예제를 보자. 

 

v1​=(1,0)           v2​=(0,1)

 

이 있다고 가정하자, 이 두 벡터를 사용하면 평면상의 모든 점 (x,y)를 아래와 같이 만들 수 있다. 

 

(x,y)=x(1,0)+y(0,1)

 

이는 곧 p= xv1​+yv2 이 된다.​

 

 

주의해야할 점은 3개의 벡터로 선형 결합 하면 선형 독립이 유지되지 않으므로 벡터 공간에 속한 모든 점을 생성할 수 없다.

기저와 차원 

2-1 기저란?

기저(Basis)는 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터들의 집합을 의미한다.

이러한 기저에 속한 원소는 기저벡터라고한다. 

 

ex) 벡터 (2,1)은 기저 B ={(2, 1), (1,3)}에 속한 기저벡터이다. 

 

 

2-2 차원이란?

수학에서 말하는 차원이란 공간을 만들 때 사용되는 기저 집합들이 가지고 있는 원소의 수를 이야기한다.

 

ex)

 

예를 들어 2차원 평면을 생성하기 위해서 항상 두 개의 기저 벡터가 필요한데,

각 기저벡터가 지니는 원소의 갯수는 변하지 않는다. 

 

B1 : (1,0) (0,1)

B2 : (2,1) (1, 3)   => 기저 자체에 대한 경우의 수는 무한하지만, 기저 집합이 가지는 원소의 수는 언제나 2개로 동일

 

기저가 하나일 경우에는 하나의 선에 해당하는 벡터만 생성할 수 있고(=1차원)

세 개 이상의 경우에는 선형 독립을 만족하지 못 한다. 

 

 

2-3 표준 기저 벡터(Standard Basis Vector)

2차원을 구성하는 다양한 기저 중 한 축만 사용하는 단위 벡터 (1,0), (0,1)로 구성된 집합을 표준기저라고한다.

해당 기저의 각 원소는 표준기저벡터라고 한다. 표준기저벡터는 순서대로 e1, e2로 표기한다. 

 

ex)

 

e1 = (1,0) / e2 = (0,1)

 

앞서 선형 독립과는 달리 벡터 공간의 차원에는 제약이 없기 때문에 R3,R4 등으로 무한히 확장이 가능하다.

이때는 늘어난 차원만큼 구성해주면 된다.

 

ex) 3차원의 경우

 

e1 = (1,0,0)

e2 = (0,1,0)

e3 = (0,0,1) 

 

총 정리 

 

 

선형독립 관계 벡터 = 선형 결합 시 벡터 공간에 속한 모든 벡터 생성 가능(2개의 벡터로 한정)

기저 = 공간을 형성하는데 기반이 되는 벡터 

기저벡터 = 기저내에 속하는 원소 

차원 = 기저 집합이 가지는 원소의 수 

 

 

 

참고자료

 

선형독립 | 게임 엔진을 지탱하는 게임 수학