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1. 삼각함수
1-1 삼각함수의 개념
삼각함수라 한 각이 직각인 직각삼각형에서 출발한다. 한 각이 직각이므로 나머지 두 각의 합이 90도가 되며
각 위치에 따라 빗변(직각의 대변), 밑변, 높이라고 부른다.
이러한 직각삼각형을 구성하는 세 변에서 두 변을 뽑아 각각의 비례관계로 나타낸 것을 삼각비 라고 한다.
삼각비에는 대표적으로 사인, 코사인, 탄젠트 세 가지가 있다.
높이를 a, 밑변을 b,빗변을 h라고 했을 때 세 가지 삼각비(A)는 아래와 같이 구할 수 있다.
여기서 말하는 삼각비란 빗변-밑변의 사이값(A)이다. 즉 sin A은 높이/ 빗변(a/h) cos A은 밑변/빗변(b/h) tan A은 높이/밑변(a/b)
이와같이 직각삼각형을 데카르트 좌표계상에 배치하고 사이각의 범위를 실 전체(R 집합)으로 확장한 대응관계를 삼각함수 라고 한다.
이 경우 양의 영역과 음의 영역내의 값만 가지므로 정의역은 실수 집합 R, 공역은 [-1, 1] 이라고 볼 수 있다
1-2 단위원
삼각함수는 단위원이라는 개념을 사용하면 좀 더 쉽게 접근할 수 있다.
단위원은 원점을 중심으로 반지름이 1인 평면 위의 원을 나타내는 개념으로, 반지름이 1이기 때문에 빗변의 길이도 항상 1이다.
반지름을 빗변으로 두고 수직선을 내려 직각삼각형을 만들면 위에서 보았던 직각삼각형 구조가 생기는 것을 알 수 있다.
또한 빗변(반지름)이 1이므로 1-1에서 언급한 계산법에 따라
cos A = 밑변 , Sin A = 높이 임을 알 수 있다.
따라서 단위 원의 좌표는 (cos A, Sin A)로 대응되므로 쉽게 파악할 수 있는 것이다.
1-3 삼함수의 성질
1. cos-sin 두 함수 모두 [-1, 1] 범위를 일정하게 반복하는 패턴을 가짐
2. cos-sin 함수 모두 2파이 단위로 반복된다(=360도 주기)
3. 축을 기준으로 좌우를 포갰을 때 코사인 함수는 데칼코마니처럼 대칭이지만, 사인 함수는 상하가 반전된 형태를 가짐
이는 각각 짝함수, 홀함수라고 불린다.
cos(-A) = cos(A)
sin(-A) = -sin(A)
4. tan 함수는 cos 90도, cos270 에서는 존재하지 않는다.
tan 함수는 높이/밑변 으로 표현한다. 위의 단위원의 케이스를 생각해보자. 이 경우 빗변이 1이므로 cos이 곧 밑변임을 알 수 있다.
그럼 tan 함수는 분모로 cos을 갖게 된다. 분모가 0인 경우에는 함수가 성립하지 않기 때문에 cos 함수가 0이 되는 90도와 270도에서는
tan 함수가 존재하지 않게 된다. 이는 -90, -270인 경우에도 동일하다. (전제가 직각삼각형이므로, 90도에서는 사잇각이 존재할 수 없다)
5. 피타고라스의 정리 (a제곱 + b제곱 = c제곱)를 대입하면 cos제곱 A + sin제곱 A = 1 를 항상 만족한다는 걸 알 수 있다.
2. 각의 측정법 :호도법
일상생활에서는 0~ 360도까지 수를 사용하는 각도법을 사용하지만 삼각함수에서는 각도법 대신 호의 길이를 기준으로 각을 측정하는
호도법을 사용한다. 호도법은 호의 길이가 1이 되는 부채꼴 각을 기준으로 측정한다. 원점에 중심을 둔 반지름이 1인 단위 반원을 그린다.
호의 길이를 1로 설정하면 부채꼴이 나오는데, 이 부채꼴 각이 호도법에서 사용하는 각의 기준 1라디안(rad)이다.
1라디안은 57,2958로, 파이와 같은 무리수이다.
3. 삼각함수를 활용한 벡터 회전
이동과는 달리 회전은 x,y 값이 함께 영향받기 때문에 독립적으로 계산할 수 없다. 따라서 회전을 구현하기 위해서는 기저벡터의 개념을 활용해야한다.
실벡터 공간 R제곱은 두 표준기저벡터 e1,e2를 기저로 둔 공간이며 모든 벡터는 두 표준기저벡터의 선형 결합에 의해 생성된다.
회전을 위해 실벡터 공간 R제곱 전체를 A(사잇각)만큼 회전시키면 두 표준기저벡터의 위치도 함께 변화한다.
이 때 표준기저벡터 e1은 (cos A, sin A) 만큼 변화하며 표준기저벡터 e2는 (-sin A, cos A)만큼 변화한다.
e1의 경우 앞에서 배웠던 높이/밑변에따라 단위 원의 좌표(cos A, Sin A)를 생각하면 이해가 쉽다.
e2의 경우 y좌표만큼 음의 x 값을 가지고, x좌표 만큼 양의 y값을 받아 뒤집히기 때문에 (-sinA, cosA)가 되는 것이다.
4. 삼각함수의 역함수 (복습 필요)
4-1 삼각함수의 역함수 구하기
각에 대응하는 벡터의 좌표를 얻을 뿐만아니라 반대로 벡터의 좌표로부터 대응하는 각도를 얻어야 할 때도 있다.
그럴대는 삼각함수의 역함수 개념을 알아야한다. 역함수는 [기초수학]함수에서 공부했던 것 처럼 두 집합의 대응 관계를 뒤집어 공역Y에서 정의역 X로 대응하는 함수이며, 전단사함수일 때만 존재할 수 있다.
그러나 sin,cos함수가 전단사함수(=1대 1 대응)가 아니기 때문에 일반적으로는 역함수가 존재하지 않는다.
따라서 단사함수를 만들어 조건을 충족시키기 위해 정의역의 값을 제한시켜 재정의해야한다.
4-2 아크사인함수
정의역과 공역의 범위를 제한시켜 얻은 sin함수를 arcsin(아크사인)함수라고 부른다.
전단사함수가 되기 위해 sin 함수의 정의역은 [-90,90], 공역은 [-1.1]이다.
4-3 아크코사인함수
정의역과 공역의 범위를 제한시켜 얻은 sin함수를 arcsin(아크사인)함수라고 부른다.
전단사함수가 되기 위해 cos함수의 정의역은 [0, 180], 공역은 [-1,1] 이다.
4-2 아크탄젠트함수
정의역과 공역의 범위를 제한시켜 얻은 sin함수를 arcsin(아크사인)함수라고 부른다.
아크탄제트의 정의역은 [-90,90]범위가 되어야한다.
아크탄젠트는 베겉의 각도를 구하는데 유용하게 사용된다.
5. 극좌표계
평면인 데카르트조표계에서는 회전에따른 x와 y의 변화를 매번 계산하는데 어려움이 존재한다.
회전 동작을 기반으로 설계된 좌표계를 극좌표계라고한다.
극좌표계는 원점으로부터의 거리 r과 각 A 두 요소로 구성되며 좌표는 (r,A)로 표현한다.
데카르트 좌표계로 표현된 벡터 (x,y)는 벡터의 크기(노름)과 arctan 함수를 사용해 극좌표계 (r,A)로 변환할 수 있다.
반대로 극좌표계 -> 데카르트 좌표계(x,y)로 변환하는 식은 삼각함수를 사용하면 쉽게 구할 수 있다.
x = r * cos A
y = r * sin A
참고자료
삼각 단위원 복습 (개념 이해하기) | 단위원이란? | Khan Academy
Khan Academy
ko.khanacademy.org
삼각함수 | 게임 엔진을 지탱하는 게임 수학
삼각함수
www.inflearn.com
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