[기초수학] 선형성(Linearity)

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선형성은 행렬을 배우기 전에 알아두어야할 기초 원리이므로, 이 다음에 공부할 행렬-역행렬 파트와 함께 보는 것이 좋다. 

1. 선형성 (Linearity)

1-1 선형성의 개념 

선형성이란 어떤 함수나 연산이 선형적인 특성을 보이는 것을 의미한다. 따라서 그래프상에서 선형성은 항상 직선의 형태를 띄고 있다. 

수학에서는 선형성을 만족하기 위해서 가산성(가법성)과 1차 동차성을 만족해야한다.

 

가산성 : f( x + y ) = f(x) + f(y)  

 

1차 동차성 : f(k * x ) = k * f(x)   (여기서 K란 스칼라 값을 의미함) 

 

선형성을 만족하는 함수를 찾기 위해서는 위의 두 식을 대변해봐야한다. 

 

ex) 예제 함수 

 

f(x)=2x 일 경우 

 

가산성 : f(x+y) = f(x) + f(y) 를 풀어보면 

좌변 : 2x+xy , 우변 2x + 2y 값이 나온다. 즉 가산성을 만족한다. 

 

1차 동차성 : f(k*x) = k * f(x)를 풀어보면

좌변 : 2kx, 우변 2kx 이므로 1차 동차성을 만족한다. 

이에따라 f(x) = 2x는 선형 함수가 되는 것이다.

 

1-2 선형성의 의미

예제 문제를 풀다보면 마주하게 되는 식이 하나 있다. f(x) = ax + b는 선형함수가 아니라는 점이다.

 

f(x) = ax + b , 원점에서 어긋나있다.

 

 

다만 형태적으로는 직선, 즉 선형성을 지닌 경우가 형태가 동일하다. 일단 위에서 배웠던 식을 대입해서 풀어보자

 

가산성 : 좌 ax+ay+b  우 ax+ay+2b 이므로 만족하지 못 함 

1차 동차성 : 좌 akx +b 우 akx + b 이므로 만족하지 못 함

 

이는 선형성은 두 집합의 순수한 비로 구성된 1차적 비례 대응 관계를 의미하기 때문이다.

선형성을 판별하기 위해서는 직선에 얽매이지 말고 순수한 비로 구성되어있는 점에 집중해야한다는걸 기억하자. 

 

선형 사상 (Linear Mapping)

사상이란 집합이 가지는 수학적 체계(공리)를 보존하면서 서로 대응하는 관계를 말한다.

그 중에서도 선형 사상은 두 벡터공간 사이에서 벡터 공간의 성질을 보존하면서 선형성을 갖는다

따라서 선형 사상도 가산성과 동차성을 함께 만족( = 1차 대응 관계)해야한다.

 

이를 판별하기 위해서는 아래의 두 가지 조건을 만족해야한다.

 

f((x1+x2, y1+y2))=f((x1, y1))+f((x2, y2))

f(a(x,y))= a * f((x,y))

 

다소 복잡해보이지만 사실 벡터로 표기하면 그닥 어렵지 않다 

즉 선형 사상은 벡터공간에서 벡터공간으로 옮기면서( Rn→Rm) 두 조건을 유지하는 것이다. 

 

선형 변환 (Linear transformation)

선형성을 유지시켜주는 선형 함수를 선형 변환이라고도 한다.

여기서 Transformation(변환)은 두 공간이 동일한 구조를 지닐 때의 대응관계를 가리키는 말이다. 

선형함수,선형 사상. 선형 변환은 사실상 같은 의미로 쓰이지만 일반적으로는 선형 변환이라고 많이 쓰이는 모양이다. 

 

 

참고자료

선형성 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

선형성 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전