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1. Vector의 개념
1-1 수 직선의 한계
수를 점으로 표현한다면 1차원 도형 수직선 위에 있는 것들만 표현이 가능하다.
평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하기 위해서 평면을 구성하는 원소를 정의해야하는데
이를 Vector라고 한다.
1-2 데카르트 좌표계
직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식을 말한다.
데카르트 좌표계는 직교(90도)하고 있으며, 이는 가로축의 실수집합과 세로축의 실수집합이 연관이 없다는 것을 의미한다.
데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며, 이를 좌표라고 부른다.
곱집합의 원어가 데카르트 곱임을 생각해본다면 동일한 개념임을 알 수 있다.
(x, y)
2. Vector 공간과 벡터
2 - 1 벡터와 벡터 공간
벡터 공간이란 두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것이다.
그러나 너무 어렵기 때문에 풀어서 설명해본다.
수의 구조를 공부하는 과정에서, 실수의 연산은 0을 제외하고는 역원이 존재하기 때문에 체의 공리를 만족한다는 사실을 확인했다.
이런 이해를 기반으로 벡터 공간을 설명하면
벡터 공간은 체 집합들의 곱집합의 결과물로, 집합에 해당
벡터는 순서쌍으로 표현되는 스칼라로, 원소에 해당한다.
2 - 2 벡터의 연산
공리적 집합론 관점에서 벡터 공간은 두 가지 기본 연산이 존재한다.
1. 벡터의 합
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
ex) (3,5) + (6,3) = (9,8)
2. 스칼라 곱셈 (벡터와 스칼라의 곱)
k * (a,b) = (ka, kb)
(a,b) * k = (ak,bk)
이후 벡터의 내적-외적에서 본격적으로 활용하게 된다.
2 - 3 벡터 공간 8가지 공리
벡터 공간의 공리를 살펴볼때는 모두 체의 공리를 기반으로 한다는 것을 잊지 말자.
해당 표에서 u,v,w는 벡터를 의미하고 a,b는 스칼라를 의미한다.
| 분류 | 공리 | 수식 | |
| 1 | 벡터의 합 |
벡터의 합의 결합법칙 | u+(v+w)=(u+v)+w |
| 2 | 벡터의 합의 교환법칙 | u+v=v+u | |
| 3 | 벡터의 합의 항등원 | v+{0}=v ({0}은 영벡터를 의미 ) | |
| 4 | 벡터의 합의 역원 | v + (-v) = (0) | |
| 5 | 스칼라 곱셈 |
스칼라 곱셈 연산의 호환성(Compatibility) | a(bv)=(ab)v |
| 6 | 스칼라 곱셈 연산의 항등원 | 1v=v | |
| 7 | 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈의 분배법칙 | a(u+v)=au+av | |
| 8 | 스칼라 덧셈과 스칼라 곱셈의 분배법칙 | (a+b)v=av+bv |
2 - 4 벡터의 크기
벡터의 크기는 원점으로부터의 최단 거리를 의미한다.
즉, 항상 표현할 때는 절댓값 기호를 이용해서 구해야한다.
벡터의 크기 = ∣v∣, 수학적 용어로는 Norm(노름) 이라고 부른다.
벡터는 결국 점과 점이 이어지는 삼각형 형태가 되기 때문에 크기를 측정하기 위해 피타고라스의 정리를 사용하여서
빗변의 크기를 구해줘야한다.
c2 = a2 + b2
c = √ a2 + b2
또한 벡터 중에는 단위 벡터라는 것이 있는데 이는 크기가 1인 벡터를 의미한다.
단위 벡터는 Hat 기호를 사용하여 표시하며 벡터 크기의 역수를 곱해야 구할 수 있다.
이렇게 임의의 벡터 v를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 과정을 정규화라고 부른다.
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