[기초수학] 수의 구조

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1. 수의 구조

1-1 수의 종류 

집합이라는 개념으로 수를 이해하는 것이 중요하다. 우리가 흔히 알고 있는 원소로 구성된 집합론을 소박한 집합론이라고한다. 

 

분류	정의			기호
자연수	물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합			N
정수	자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합			Z
유리수	분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합			Q
무리수	두 정수 비 혹은 분수로 나타낼수 없는 수의 집합			I
실수	유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합			R
복소수	실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a + bi (a,b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합			C
사원수	실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i,j,k를 조합해 a + bi + cj + dk (a,b,c,d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합			H

 

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn_Diagram_of_Numbers_Expanded.svg

 

1-2 수의 표현 

실수(R)을 대응시켜 표현한 직선을 수직선Number line 이라고 한다.

실수의 모든 요소는 상호 간에 크기를 비교할 수 있으며, 더 큰 수를 오른쪽에 표시하는 규칙을 지켜야한다. 

 

수직선 (수학) - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

원점을 기준으로 거리를 구할때는 원점에서부터의 거리를 의미하므로 절댓값을 사용하여서 구할 수 있고,

방향은 -,+ 기호로 구할 수 있다. 

 

즉, 덧셈 연산은 수직선에서 시각적으로 보았을 때는 평행 이동을 하는 연산이라고 할 수 있으며

곱셈 연산은 원점을 중심으로 점의 크기와 방향을 조절하는 연산이다.

 

 

2. 이항연산의 성질 

2-1 이항연산 

소박한 집합론은 인간의 보편적 관념에 의존하므로, 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다. 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리라고 하는데, 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론이라고 한다. 공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산엔 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다. 

 

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점이다. 

두 개의 원소를 사용해서 새로운 원소를 만들어내는 것을 이항연산이라고 한다. 

 

연산 (수학) - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 어

 

2- 2 이항연산의 성질 

1. 교환법칙

  임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서와 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질 

 

a + b = b + a
a * b = b * a

 

2. 결합법칙

  연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 계산한 결과가 같은 성질을 의미한다.

(a+b) + c = a +(b+c)
(a*b) * c = a *(b*c)

 

3. 분배법칙

  서로 다른 2가지 연산에 대해 다음의 규칙이 성립되는 것이다. 

a * (b + c) = a * b + a * c #좌분배법칙
(b + c) * a = b * a + c * a #우분배법칙

 

4. 항등원

임의의 수와 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수를 말한다.

 

ex) 

a + b = a #일 경우에 b를 항등원이라고 한다.
#결국 덧셈의 항등원은 0이라는 의미가 된다.

 

 

5. 역원

임의의 수와 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수이다.

#덧셈의 역원
a + (-a) = 0 #역원은 -a

 

덧셈의 역원은 주어진 수(a) 에서 항상 부호가 반대인수가 되므로 반대수,

곱셉의 역원은 분자

3. 체의 공리 

위에서 말했던것 처럼 공리는 증명이 필요 없는 가장 기초적인 명제로, 공리를 이용해 다양한 수의 구조를 정의 할 수 있다. 

 

1. 군의 공리 : ex) 덧셈 연산 (a + b) 

• 닫혀있다.
• 결합법칙 성립 
• 항등원 존재 : 0
• 역원 존재 : -a
• 교환 법칙 성립 : a + b = b + a 

반대로, 뺄셈 연산은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 위 공리를 모두 만족하지는 못한다.

ex) a - b = b - a 는 성립되지 않는다

 

2, 아벨 군 (Abelian Group)

• 교환 법칙을 만족하는 경우 충족

3. 환의 공리

 

첫 번째 두 번 째 연산에 대해 다음 공리를 만족하는 수의 체계 

• 곱셉 연산에 대해 닫혀있다.
• 곱센 연산은 결합 법칙을 만족한다.
• 덧셈과 곱셉 연산은 분배 법칙을 만족한다.

ㅇㅇ

 

4. 가환환

• 곱셉 연산은 교환 법칙을 만족
• 곱셉 연산의 항등원이 존재

5. 체의 공리 

0을 제외한 모든 원소들은 곱셉 연산의 역원이 존재한다. 즉, 우리가 일반적으로 사용하는 실수(R)들은 전부 체의 공리에 속한다고 볼 수 있다.

 

정리하자면 덧셈과 곱셉 연산에 대해 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재하는 수의 구조이며

이는 곧 사칙 연산에 대해 닫혀있고 자유롭게 연산 순서를 적응할 수 있는 수의 구조이다.

 

이러한 체의 공리를 만족하는 수 집합에는 유리수(Q), 실수(R), 복소수(C)가 있다.

이런 체 집합은 F로 표현하며, 원소를 스칼라라고한다.

 

 

참고 자료

이득우의 게임 수학 

게임 엔진을 지탱하는 게임 수학 강의 | 이득우 - 인프런